Exp_Mat09_Alu

40 Tema 9 Componente numérico-variacional Números complejos Operaciones con números complejos En el plano complejo podemos ubicar el punto que representa al número complejo a + bi . También podemos trazar un vector que va desde el origen del plano hasta el punto ( a , b ). La longitud o magnitud de este vector es el módulo del número complejo ( ver figura 1). Si en un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 12,25 cm y la hipotenusa mide 13,57 cm, ¿cuál es la medida del otro cateto? Figura 1 Figura 2 Para a + bi , su módulo se define como a bi a b 2 2 + = + , y su conjugado complejo como a bi a bi + = - . Ejemplo 1 Calculemos el módulo de cada número complejo. a. 8 i = 0 + 8 i ; i 0 8 0 8 64 8 2 2 + = + = = b. i 2 5 2 5 4 25 29 2 2 + = + = + = c. i 3 4 7 3 4 7 9 16 49 9 457 2 2 - - = - + = + = a ^ k h Ejemplo 2 Hallemos el conjugado de cada número complejo y ubiquemos en el plano complejo cada número y su conjugado ( ver figura 2). a. –4 i = 0 – 4 i 0 – 4 i = 0 + 4 i = 4 i b. 3 – 4 i i i 3 4 3 4 - = + c. –5 + 3 i i i 5 3 5 3 - + = - - Para comprender ¿El producto del número complejo a + bi y su conjugado complejo equivale a a 2 – b 2 ? Respuesta Sí, porque ( a + bi ) ( a – bi ) = a 2 – ( bi ) 2 = a 2 – b 2 i 2 = a 2 + b 2 . En los complejos podemos efectuar las siguientes operaciones: Adición ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Sustracción ( a + bi ) – ( c + di ) = ( a – c ) + ( b – d ) i Multiplicación ( a + bi ) × ( c + di ) = ac + adi + bci + bdi  2 = ac + adi + bci – bd = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i División c di a bi c di a bi c di c di $ + + = + + - - ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h h , con c + di ≠ 0 Tabla 1 Saberes previos a Eje imaginario Eje real a + bi bi Eje imaginario Eje real 2 2 i –2 i –4 i 4 i –2 –4 (–5, 3) (3, 4) (3, –4) (–5, –3) 4