Construye Matemática 3 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

14 Para practicar Anota Tema ©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 Cuantificadores: universal y existencial 3 Los cuantificadores son símbolos que indican la cantidad de valores que toma una variable dentro de un conjunto. Estos símbolos, unidos a un sustantivo común o a un enunciado abierto, permiten obtener proposiciones. Tipos de cuantificadores Estudiaremos los dos cuantificadores más usados: el universal y el existencial. Ejemplo 5 Traduce las siguientes expresiones simbólicas al lenguaje verbal. a. ∃ x ∈ ℕ / −3 < x < 0 b. ∀ x ∈ ℤ , x 3 ≥ 0 Solución a. Existe por lo menos un número natural mayor que −3 y menor que 0. b. Para todo número entero, su cubo es mayor o igual que 0. El valor de verdad de una proposición universal es falso si por lo menos para un caso se muestra lo contrario. El valor de verdad de una proposición existencial es falso si la proposición no se cumple para ningún caso, y es verdadero si se cumple por lo menos para uno. Ejemplo 6 Determina y justifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a. Todo número entero es natural. b. Existe un número natural impar menor que 1. Solución a. Falsa, ya que –7 es un número entero y no es natural. b. Falsa, pues el único número natural menor que 1 es 0, y 0 no es impar. 1. Traduce, al lenguaje simbólico, el enunciado “Todos los números naturales son mayores que cero”. 2. Determina la clase de cuantificador empleado en cada caso. Luego, determina su valor de verdad. a. Ninguna proposición es un enunciado. b. Algún número primo es un número par. Un enunciado abierto o función proposicional es aquel enunciado que contiene una o más variables, las cuales, al ser sustituidas por valores particulares, lo convierten en una proposición. Ejemplo: p ( x ): 3 x es un número par. • • Si x = 1, entonces p (1) es una proposición falsa. • • Si x = 2, entonces p (2) es una proposición verdadera. Tipo Expresión usual Símbolo Universal : indica que todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad del enunciado abierto. Todo, para todo, cualquiera que sea, etc. ∀ Existencial : indica que por lo menos un elemento del conjunto cumple la propiedad del enunciado abierto. Existe, hay algún, existe por lo menos un, etc. ∃