Construye Matemática 3 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 3 Competencias matemáticas Abordarás contenidos a lo largo del libro que te permitirán afianzar tus competencias. Regularidad, equivalencia y cambio Interpretarás y generalizarás patrones. Gestión de datos e incertidumbre Recopilarás y procesarás datos. 33 Para practicar Conexiones ℝ ℚ ℤ ℕ 3 4 1 2 3 0 2 1 3 Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Números reales y recta real Hemosvistounaextensiónnaturalde losconjuntosnuméricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ .Pero ¿qué relación tienenestos conjuntos con losnúmeros irracionales ( )?En realidad, ℚ e no tienenelementoscomunes,pero juntosconformanunnuevoconjunto. Números reales El conjuntode los números reales ( ℝ ) es launióndel conjuntode losnúmeros racionalesyelconjuntode losnúmeros irracionales. ℝ = ℚ ∪ Ejemplo2 Determinaaquéconjuntosnuméricospertenecen−127; 8 8 ; π 2 y0,3333. Solución Recta real Losnúmeros reales sepueden representargráficamenteenuna rectanumérica, en la cual cada punto se asocia con un único número real. A esta recta se le denomina recta real ,yalpuntoque seasociaconelcero se ledenominaorigen. Losrealespositivosseubicana laderechadelorigen,y losnegativos,a la izquierda. Ejemplo3 Representa losnúmeros 3 4 ; 2y 3yen la recta real. Solución Pararepresentar 3 4 ,dividimos launidaden4segmentos igualesydesde0contamos 3 segmentoshacia laderecha. Para representar 2, trazamos un triángulo rectángulo cuyos catetosmidan 1 u (ver figura del margen). Luego, con ayuda de un compás, ubicamos 2(que coincide con la longitudde lahipotenusadeeste triángulo).Enel casode 3, los catetosdel triángulo rectángulomiden 2uy1u. 1. Identificaaquéconjuntosnuméricospertenecen lossiguientesnúmerosyubícalosen la rectanumérica. a. 2 3 b. 0,568 c. π 2 d. − 3 8 3 e. 5 3 f. −2 e 2 Losnúmeros reales son útiles,entreotrascosas, paraestablecer relaciones entre lasdimensionesde losplanetasy losdiferentes cuerposdel sistema solar. Porejemplo, losdiámetros de losplanetasvaríandesde 4878 km (Mercurio)hasta 142800 km (Júpiter).Esto nospermiteafirmarqueel diámetrode Júpiterescasi 30veceseldeMercurio. Número ℕ ℤ ℚ ℝ −127 8 8 π 2 0,3333 Continúa tuaprendizajeenelLibrodeactividades,páginas34-37. 188 Para practicar Reto Recuerda h r Base Generatriz ( g ) Altura Radio Ejedegiro Tema ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Cilindro circular recto 4 En losdos temasanterioresestudiamosdosclasesdepoliedros.Ahora,estudiaremos otro tipode sólidos, llamados cuerpos redondos ,que segeneran algiraruna figura alrededordeuneje.Algunosdeestos sonelcilindro,elconoy laesfera. Un cilindrocircular recto eselcuerpogeométricoqueseobtienealgirar360°un rectánguloalrededordeunode sus lados.El ladodel rectánguloquepermanece fijo es la altura, el ladoopuesto se llamageneratriz, y losotrosdos lados son los radiosde loscírculosque forman lasbases. Área y volumen Para calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cilindro circular recto, podemosemplear las siguientes fórmulas: Ejemplo8 En una tienda se venden conservas de durazno en envases cilíndricos de 8,8 cm dediámetro y12,6 cmde altura.Determina la cantidaddehojalatanecesariapara hacerunadecenadeesosenvases. Solución Determinar lacantidaddehojalataequivaleadeterminareláreatotalde losenvases. Comoeldiámetromide8,8cm,entoncesel radio ( r )mide:8,8÷2=4,4cm Calculamoselárea totaldeunenvase: A T =2 π r( g + r ) → A T =2 π (4,4)(12,6+4,4)=149,6 π ≈469,98cm 2 Por tanto,elárea totaldeunadecenadeenvaseses:469,98×10=4699,8cm 2 Ejemplo9 Determinaelespacioqueocupan lasconservasdelcasoanterior. Solución Elespacioqueocupan lasconservasequivalealvolumendeestas. Calculamoselvolumendeunenvase: V = π (4,4) 2 (12,6)=243,936 π ≈766,35cm 3 Por tanto,elvolumendeunadecenadeenvaseses:766,35×10=7663,5cm 3 1. Un tanquecilíndricodealmacenamientodeagua tiene150cmdediámetroy3,2mdealtura. a. Determina lacantidadde litrosdeaguaquepuedealmacenar. (Consideraque1m 3 =1000Ly π ≈3,14). b. Si seduplicaeldiámetrodel tanque, ¿cuántos litrosdeaguapodráalmacenar? Uncilindroestá inscritoen unacajade16cmde largo, 16cmdeanchoy20cm dealtura.Calculaelespacio quehayentreelcilindroy lacaja. Elementosdelcilindro Área lateral ( A L ) Área total ( A T ) Volumen ( V ) A L =2 π rg A T =2 π r ( g + r ) V = π r 2 h 42 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Argumenta Y X f ( x )= x 4 –2 x 2 –8 2 1 0 –1 –2 –1 1 2 Y X 2 1 0 –1 –2 –1 1 2 Y X Y X g ( x )=3 x – x 3 Tema Simetría de una función 9 Existen funcionescuyasgráficasenelplanocartesiano son simétricas respectodeun ejeodeunpunto.Observa las siguientesgráficas: En esta gráfica se puede observar que hay simetría respectoaleje Y . Veamoscómopodemosdeterminar,de formaalgebraica, siuna funciónes simétrica respectoaleje Y oalorigen. Una función par es aquella que verifica f (– x ) = f ( x ), ∀ x ∈ Dom( f )/– x ∈ Dom( f ). Enestecaso, sugráficaes simétrica respectoaleje Y . Una función impar esaquellaqueverifica f (– x )=– f ( x ), ∀ x ∈ Dom( f )/– x ∈ Dom( f ). Enestecaso, sugráficaes simétrica respectoalorigendecoordenadas. Ejemplo15 Determina la simetríade las siguientes funciones: a. f ( x )= x 4 –2 x 2 –8 b. g ( x )=3 x – x 3 Solución a. Calculemos f (– x ): f (– x )= (– x ) 4 –2(– x ) 2 –8= x 4 –2 x 2 –8= f ( x ) Como f (– x )= f ( x ), la funciónespar.Por tanto, sugráficaes simétrica respecto al eje Y (ver figura1). b. Calculemos g (– x ): g (– x )=3(– x )– (– x ) 3 =–3 x – (– x 3 )=–3 x + x 3 =–(3 x – x 3 )=– g ( x ) Como g (– x )=– g ( x ), la funciónes impar.Portanto,sugráficaessimétrica respecto alorigendecoordenadas (ver figura2). 1. ¿Cuálde las siguientes funcioneses impar? a. f ( x )= x +8 c. h ( x )= (1– x ) 2 b. g ( x )= x 3 +8 d. r ( x )= x 5 + x 3 2. Determina la simetríadecada función. a. f ( x )= x x 6 5 ( 1) 2 6 2 − + b. g ( x )= x , si x <0 x 3 , si x ≥0 Explicaporqué lagráficade una funciónnopuede ser simétrica respectoaleje X . En esta gráfica se puede observar que hay simetría respectoalorigen. Figura1 Figura2 22 ©EDUCACTIVAS.A.C.Prohibido fotocopiar.D.L.822 Para practicar Importante Anota Tema Población, muestra y variable estadística 8 Lacienciaque seocupade recolectar,organizar,presentaryanalizar losdatospara la posterior tomadedecisionesenuna investigación sedenomina estadística .Vamosa definir losconceptosmás importantesde laestadística. Población La población es el conjunto de todos los elementos o individuos que son sometidosaunestudioestadístico. Muestra La muestra es un subconjunto representativo de la población. Se selecciona aleatoriamente o con un determinado criterio, y nos permite describir el comportamientode toda lapoblación respectoaunavariabledeestudio. A la cantidad de elementos de la muestra se le denomina tamaño de la muestra. Siel tamañode lamuestracoincideconelde lapoblación, lamuestra se llamacenso. Variable estadística Una variable estadística es una característica o cualidad de los elementos de la poblaciónomuestraquese investiga.Generalmente,puedetomarmásdeunvalor. Según los tiposdevaloresqueasumen, lasvariablesestadísticaspueden ser: a. Variablescualitativas : se refierenacaracterísticasocualidadesquenopueden ser medidasconnúmeros.Estaspueden serdedos tipos: • Nominales : sonaquellasquepresentanmodalidadesnonuméricasy,por tanto, noadmitenuncriteriodeorden.Porejemplo:estadocivil,profesión,etc. • Ordinales : son aquellas que presentan modalidades numéricas, de modo que admiten un cierto orden. Por ejemplo: puesto obtenido en un concurso de canto,medallaobtenidaenunacompetenciadeportiva (oro,plata,bronce),etc. b.Variables cuantitativas: se refieren a características que pueden medirse con números.Estaspueden serdedos tipos: • Discretas : si resultan de un proceso de conteo y se expresan con números naturales.Porejemplo:númerodehijos,edad,etc. • Continuas : si resultandeunprocesodemedicióno comparación y se expresan connúmeros realesdecualquier tipo.Porejemplo:estatura, sueldo,etc. 1. Determinael tipodevariableestadísticaencadacaso. • Pesodelarrozvendido • Númerode libros • Posiciónenunacarrera • Paísdeorigen Unestudioestadístico constade las siguientes fases: • Recoleccióndedatos • Organizaciónde losdatos • Presentaciónde losdatos • Análisisdedatos • Obtenciónde conclusiones Elmuestreoes la técnica que seutilizapara seleccionara los individuos deunapoblacióna fin deque formenpartedel estudioestadístico. Texto que motiva el estudio del tema Situación desarrollada que acompaña los saberes aprendidos Cantidad Desarrollarás tus nociones numéricas. Forma, movimiento y localización Desarrollarás tus nociones espaciales. Definición de saberes matemáticos Actividades que complementan el desarrollo del tema