Construye Matemática 5 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

14 ©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 Tema Equivalencias lógicas Dos fórmulas lógicas, A y B , son equivalentes cuando al unirlas por el bicondicional resulta una tautología. Simbólicamente se expresa así: A ≡ B o así: A ⇔ B . Ejemplo 8 Determina si las siguientes expresiones son equivalentes: "No es cierto que la Luna no sea un satélite y el hombre haya llegado a ella" y "Si el hombre llegó a la Luna, entonces la Luna es un satélite". Solución Sean p : La Luna es un satélite y q : El hombre llegó a la Luna; entonces, las expresiones son: ∼ ( ∼ p ∧ q ) y ( q → p ). Para que sean equivalentes, ∼ ( ∼ p ∧ q ) ↔ ( q → p ) debe ser una tautología. Veamos: Es una tautología, por tanto, las expresiones son lógicamente equivalentes. Equivalencias lógicas notables Ley Representación Doble negación ∼ ( ∼ p ) ≡ p Conmutativa p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p p ↔ q ≡ q ↔ p Asociativa p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q) ∨ r p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q) ∧ r p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q) ↔ r Distributiva p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q) ∨ ( p → r) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q) ∧ ( p → r) Idempotencia p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p De Morgan ∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼ p ∧ ∼ q ∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q Condicional p → q ≡ ∼ p ∨ q p → q ≡ ∼ q →∼ p Bicondicional p ↔ q ≡ ( p → q) ∧ ( q → p) p ↔ q ≡ ( p ∧ q) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q) Absorción p ∨ ( p ∧ q ) ≡ p p ∧ ( p ∨ q ) ≡ p Identidad p ∨ V ≡ V p ∧ V ≡ p p ∨ F ≡ p p ∧ F ≡ F Complemento p ∨ ∼ p ≡ V p ∧ ∼ p ≡ F 3 Recuerda Tener en cuenta al evaluar una fórmula lógica: • • Si todos los valores de verdad de la columna principal son verdaderos (V), la fórmula es una tautología . • • Si todos los valores de verdad de la columna principal son falsos (F), la fórmula es una contradicción . • • Si algunos valores de verdad de la columna principal son verdaderos y otros falsos, la fórmula es una contingencia . Importante Las propiedades relacionadas con el disyuntivo exclusivo son las siguientes: p Δ q ≡ ( p ∧ ∼ q ) ∨ ( ∼ p ∧ q ) p Δ q ≡ ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ) p q ∼ ( ∼ p ∧ q ) ↔ ( q → p ) V V V F F V F F V ( F V F V) V ( F V F F) F ( V F V V) V ( V F F F) V V V V V V V F V V V F F F V F