Construye Matemática 5 Secundaria MUESTRA NORMA PACK

20 ©EDUCACTIVA S.A.C. Prohibido fotocopiar. D.L. 822 Para practicar Tema Números reales 7 El conjunto de los números reales ( ℝ ) está formado por la unión de los números racionales ( ℚ ) con los irracionales ( ); es decir: ℝ = ℚ ∪ . Axiomas del conjunto de los números reales El sistema de los números reales está formado por el conjunto ℝ , las operaciones de adición y multiplicación, sus axiomas y una relación de orden en ℝ . Axioma Enunciado Ejemplo Clausura o cerradura Adición: ∀ a , b ∈ ℝ : a + b ∈ ℝ Multiplicación: ∀ a , b ∈ ℝ : a ∙ b ∈ ℝ 3 + 2 ∈ ℝ (–5)( π ) ∈ ℝ Conmutativo Adición: ∀ a , b ∈ ℝ : a + b = b + a Multiplicación: ∀ a , b ∈ ℝ : a ∙ b = b ∙ a e + 2 = 2 + e (–7) ( 2 3 ) = ( 2 3 ) (–7) Asociativo Adición: ∀ a , b, c ∈ ℝ : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Multiplicación: ∀ a , b, c ∈ ℝ : a ∙ ( b ∙ c ) = ( a ∙ b ) ∙ c 9 + (2 + π ) = (9 + 2) + π 3 ∙ (4 2 ) = (3 ∙ 4) ∙ 2 Distributivo ∀ a , b, c ∈ ℝ : a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c 3( π + 5 ) = 3 π + 3 5 Elemento neutro Adición: ∃! 0 ∈ ℝ / ∀ a ∈ ℝ , a + 0 = 0 + a = a Multiplicación: ∃! 1 ∈ ℝ / ∀ a ∈ ℝ , a ∙ 1 = 1 ∙ a = a 0 + e = e + 0 = e 7 5 ∙ 1= 1 ∙ 7 5 = 7 5 Elemento inverso Adición: ∀ a ∈ ℝ , ∃ ( – a ) ∈ ℝ / a + ( – a ) = 0 Multiplicación: ∀ a ∈ ℝ , ∃ 1 a     ∈ ℝ / a ∙ 1 a = 1 7 5 7 5 0 8 1 8 1 8 8 1 , ,   ( ) + − ( ) = ⋅ = ⋅ = Características del conjunto de los números reales Denso. Dados dos números reales a y b , tal que a < b , siempre es posible encontrar un c ∈ ℝ tal que a < c < b . Completo. Los números reales completan cada punto de la recta; es decir, para cada punto de la recta le corresponde un número real, y viceversa, a cada número real le corresponde un punto en la recta. Ordenado. Dados dos números reales cualesquiera a y b , siempre se cumple una de las siguientes posibilidades: ( a > b ), ( a < b ) o ( a = b ) (Propiedad de la tricotomía). 1. Indica la relación de pertenencia o inclusión que corresponda. a. –2 ℕ b. 3 c. 0 3,  ℚ d. ℤ ℚ 2. Si a < b y c > d , halla el signo de la siguiente operación: ( b – a )( d – c ). 3. Si a ∈ ( ℚ – ℤ ) y b ∈ ( ℤ – ℕ ), propón un ejemplo donde ( b ÷ a ) ∈ ℤ . Recuerda El conjunto de los números reales y su relación con los otros conjuntos numéricos: ℝ ℚ ℤ ℕ Anota ∀ a , b , c ∈ ℝ : Propiedad transitiva Si a < b y b < c , entonces a < c . Propiedad aditiva Si a < b , entonces a + c < b + c. Propiedad multiplicativa • • Si a > b y c > 0: ac > bc . • • Si a > b y c > 0: ac < bc .