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36 Tema 7 Componente numérico-variacional Sistema de los números reales Multiplicación y división con números reales La mayoría de canchas de fútbol profesionales cuenta con un sistema de riego para el césped denominado de aspersión, el cual tiene en cuenta aspectos como el volumen de agua por riego, el tipo de suelo, la profundidad de enraizamiento del césped, entre otros. Por lo general, un aspersor cubre un área circular con un radio aproximado de 4,5 m. ¿Cuál es el área máxima que podrían cubrir 150 aspersores? Para responder la pregunta, necesitamos la multiplicación con números reales y sus propiedades. El doble de la tercera parte del dinero que debe Roberto corresponde a $ 12 600 000. ¿Cuánto dinero debe Roberto? El resultado de multiplicar dos o más números reales se denomina producto . Los números que se multiplican se llaman factores . La multiplicación con números reales cumple las siguientes leyes de los signos: 1. El producto de dos números reales de igual signo siempre es positivo . 2. El producto de dos números reales de distinto signo siempre es negativo . Para comprender ¿Qué propiedades están descritas en cada literal? a. Si a y b ∈ R , a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces, a · b ≥ 0. b. Si a y b ∈ R , a ≤ 0 y b ≤ 0, entonces, a · b ≥ 0. c. Si a y b ∈ R , a ≥ 0 y b ≤ 0, entonces, a · b ≤ 0. Respuesta Los literales a y b representan la ley del producto de números reales del mismo signo. El literal c, la ley del producto de números de diferentes signos. Vocabulario académico ¿Has escuchado la frase «¡el sentimiento es recíproco !»? En este contexto, ¿la palabra recíproco tiene un significado similar al matemático? Los números reales con la operación de multiplicación cumplen las siguientes propiedades: Propiedad Expresión general Clausurativa : al multiplicar dos números reales, el resultado es un número real. Si a , b ∈ R , entonces, a · b ∈ R . Conmutativa : el orden en el que se multiplican dos números reales no altera el resultado. Si a , b ∈ R , entonces, a · b = b · a . Asociativa : la forma como se agrupan tres o más números reales para multiplicarse no altera el resultado. Si a , b , c ∈ R , entonces, ( a · b ) · c = a · ( b · c ). Modulativa : al multiplicar un número real por 1, el resultado es el mismo número real. El 1 se llama módulo de la multiplicación. Si a ∈ R , entonces, a · 1 = 1 · a = a . Invertiva : para todo número real diferente de 0, existe otro número real llamado recíproco , y el producto entre ambos números reales es 1. Si a ≠ 0, entonces, existe a 1 , tal que a · a 1 = 1. Distributiva : al multiplicar un número real por los sumandos de una suma de números reales, el resultado es igual que la adición de los productos entre el número real y cada uno de los sumandos. Si a , b , c ∈ R , entonces, a ( b + c ) = a · b + a · c . Tabla 1 Saberes previos