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48 Tema 10 Componente numérico-variacional Sistema de los números reales Radicación y logaritmación con números reales A Johan le ofrecen un lote rectangular de 4 050 m 2 de área, pero no le especificaron las medidas de ancho y largo del terreno. Únicamente le dijeron que el largo tenía el doble de ancho. ¿Cómo podría Johan hallar las medidas del terreno para decidir si lo compra? Para responder la pregunta, podemos utilizar radicación en los números reales . Un computador con monitor a color de 8 bits puede mostrar 2 8 colores, es decir, 256 colores. ¿Cuántos colores podrá mostrar un computador con un monitor de 16 bits? ¿Por qué? Considerando a , b ∈ R y n ∈ Z + , la radicación con números reales cumple las siguientes propiedades: Propiedad Ejemplo Radical de un producto a b a b n n n $ $ = 8 27 8 27 2 3 6 3 3 3 $ $ $ = = = Radical de un cociente b a b a n n n = 4 25 4 25 2 5 = = Radical de un radical a a nm mn = 64 64 2 3 6 = = Relación raíz potencia a a m n n m = 27 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 = = = = Tabla 1 La radicación con números reales es una operación que permite hallar la base b en una potenciación de la forma a = b n . Por tanto, se dice que es una operación inversa de la potenciación. b = a n si y solo si a = b n , donde a , b ∈ R y n ∈ Z + . El número real a se llama radicando o subradical , b raíz y n índice de la raíz . Ejemplo 1 Retomemos la pregunta del inicio del tema. Consideremos a como la medida del ancho del terreno. Por tanto, la expresión que permitiría hallar las dimensiones del terreno es 4 050 = a · 2 a . 4 050 = 2 a 2 Utilizamos la propiedad de potencias de igual base. 2 025 = a 2 Despejamos a 2 . 2 025 2 = a Utilizamos la definición de radicación. 45 2 = a Utilizamos que 2 025 = 45 2 . 45 = a Utilizamos la relación raíz potencia. Por tanto, el terreno mide 45 m de ancho y 90 m de largo. Vocabulario académico ¿Alguna vez has escuchado la frase «¡Voy a hacer un cambio radical !»? ¿La palabra radical tiene un significado similar al matemático? Alerta a b a b ! + + Saberes previos