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64 Tema 13 Componente numérico-variacional Ecuaciones e inecuaciones lineales Inecuaciones lineales con una incógnita Para el proyecto PRAE (Proyectos Ambientales Escolares) del colegio de Rafael, se consiguieron 140 m de cerca para proteger un jardín rectangular de 60 m de largo que se está construyendo. Si la cantidad de cerca determina las dimensiones del jardín, ¿cómo podríamos saber cuántos metros de ancho podría tener el jardín? Para responder la pregunta, podemos utilizar inecuaciones lineales con una incógnita . Francisco ganó 8 canicas, pero sigue teniendo menos que Manuel, quien actualmente tiene 34. ¿Qué expresión matemática podrías utilizar para describir esta situación? ¿Cuántas canicas podría tener inicialmente Francisco? Justifica tu respuesta. Una desigualdad es una comparación entre dos números o expresiones que utiliza alguna de las relaciones de orden <, >, ≥ o ≤. Si la desigualdad está formada por una variable, en donde el exponente de esta es uno, se denomina inecuación lineal con una incógnita . Ejemplo 1 Hallemos la medida del ancho del jardín del colegio de Rafael. Para esto, llamemos x a la longitud del segmento de cerca que cubrirá el ancho del jardín. 2 · 60 + 2 · x ≤ 140 Planteamos una inecuación utilizando el perímetro del rectángulo. 120 + 2 x –120 ≤ 140 –120 Adicionamos el opuesto de 120. 2 x ≤ 20 Aplicamos las propiedades modulativa y clausurativa de la adición. ≤ x 2 2 2 20 Multiplicamos por el recíproco de 2. Como es mayor que 0, la desigualdad se mantiene. x ≤ 10 Aplicamos las propiedades clausurativa y modulativa de la multiplicación. Alerta x < y equivale a y > x . x ≥ y equivale a y ≤ x . Para comprender Si a , b , c ∈ R ; a ≤ b y c < 0, ¿qué se puede concluir de a · c y b · c ? Respuesta Por las propiedades de la relación de orden entre los números reales, se tiene que si a ≤ b , entonces, a · c ≥ b · c . Es decir, que si una desigualdad se multiplica por un número negativo, la desigualdad cambia. Para solucionar una inecuación lineal con una incógnita, utilizamos las propiedades de relación de orden. Saberes previos