Exp_Mat08_Alu

69 Dato histórico En el siglo III, el griego Diofanto de Alejandría fue quien introdujo un simbolismo algebraico en la resolución de ecuaciones lineales para designar la incógnita, y realizó sus estudios con variables que tienen un valor racional, llamadas también ecuaciones diofánticas . En nuestro país, contamos con 69 resguardos indígenas distribuidos en cuatro departamentos. Los departamentos 1 y 2 contienen la misma cantidad; el departamento 3, el doble del departamento 1; y en el departamento 4, hay 17 resguardos. ¿Cuántos resguardos indígenas hay en cada departamento? Ahora es tu turno Ejemplo 2 La Federación de Atletismo Nacional estableció que la longitud de las pistas debe estar entre 410 m y 450 m. La superficie blanca de la figura 1 es la pista de atletismo que se encuentra alrededor de una cancha de fútbol. ¿Cuál es la medida del radio que puede establecerse en cada semicírculo de esta pista de atletismo? Solución Llamemos al radio del semicírculo r . La longitud de la pista está dada por la suma de las dos semicircunferencias, es decir, una circunferencia (2 r r ) y dos veces el largo de la cancha de fútbol (105 · 2). Como la longitud de la pista está entre 410 m y 450 m, entonces, planteamos la inecuación que modela la situación. 410 ≤ 2 r r + 105 · 2 ≤ 450 Consideramos la inecuación. 410 ≤ 2 r r + 210 ≤ 450 Hallamos el producto. 410 + (–210) ≤ 2 r r + 210 + (–210) ≤ 450 + (–210) Adicionamos el opuesto de 210. 200 ≤ 2 r r ≤ 240 Simplificamos utilizando las propiedades de la adición. 2 200 r ≤ r 2 2 r r ≤ 2 240 r Multiplicamos por el recíptoco de 2 r . 100 r ≤ r ≤ 120 r Simplificamos utilizando las propiedades de la multiplicación. Por tanto, el radio del semicírculo puede estar entre 100 r y 120 r , es decir, el intervalo solución es , 100 120 r r 9 C . Verificamos la solución reemplazando los límites del intervalo. 410 ≤ 2 r r + 105 · 2 ≤ 450 410 ≤ 2 r · 100 r + 105 · 2 ≤ 450 410 ≤ 200 + 210 ≤ 450 410 ≤ 410 ≤ 450 410 ≤ 2 r · 120 r + 105 · 2 ≤ 450 410 ≤ 240 + 210 ≤ 450 410 ≤ 450 ≤ 450 Por tanto, el intervalo solución hallado corresponde al buscado. Verificamos el resultado: 47 000 x + 100 000 = 899 000 47 000(17) + 100 000 = 899 000 899 000 = 899 000 Por tanto, podemos afirmar que Alejandra y Sebastián arbitraron 17 partidos. Como Sebastián recibe $ 35 000 por partido arbitrado, entonces, en el mes recibirá 35 000 · 17 = 595 000, es decir, en total, $ 595 000 + $ 50 000 = $ 645 000. Por su parte, Alejandra recibirá 12 000 · 17 = 204 000, es decir, en total, $ 204 000 + $ 50 000 = $ 254 000. Figura 1 105 m r