Exp_Mat09_Alu

17 Las soluciones de | x | ≥ a , para a ≥ 0, son todos los valores de x, tales que x es menor que – a y mayor que a . Es decir, para a ≥ 0, | x | ≥ a , si y solo si, x ≤ – a o x ≥ a. Si a , b , c ∈ R , con a ≠ 0 y c ≥ 0, las soluciones de | ax + b | ≥ c son las soluciones de ax + b ≤ – c o ax + b ≥ c . ¿Cuál es la representación gráfica de la solución de la inecuación | x | ≤ a ? Respuesta Como la solución es – a ≤ x ≤ a , la representación gráfica es la que aparece en la figura 1. Figura 1 Ejemplo 1 Hallemos la solución de la inecuación x 2 3 5 7 < + . Solución Resolver x 2 3 5 7 < + equivale a resolver x 7 2 3 5 7 < < - + : x 7 2 2 3 5 2 7 2 < < - + ^ a ^ h k h Multiplicamos por 2 cada miembro de la desigualdad. –14 < 3 x + 5 < 14 Efectuamos las operaciones indicadas. –14 – 5 < 3 x + 5 – 5 < 14 – 5 Adicionamos –5 en cada miembro. –19 < 3 x < 9 Efectuamos las operaciones indicadas. x 3 19 3 3 3 9 < < - Multiplicamos por el recíproco de 3, cada miembro de la desigualdad. x 3 19 3 < < - Efectuamos las operaciones indicadas. Todo número real entre 3 19 - y 3 satisface la inecuación dada. En notación de intervalo es ,3 19 3 - a k . Ejemplo 2 Hallemos los números reales que multiplicados por 2 y este producto aumentado en 5, su distancia a 0 es mayor que 9. Solución Planteamos la inecuación con valor absoluto porque habla de distancia: | 2 x + 5 | > 9. La solución es la unión de las soluciones de 2 x + 5 < –9 o 2 x + 5 > 9: 2 x + 5 < –9 2 x + 5 > 9 2 x < –14 2 x > 4 x < –7 x > 2 La solución es (–∞, –7) ∪ (2, ∞) y gráficamente aparecen en la figura 2. Para comprender Figura 2 Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades : 1. Si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c . 2. Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d . 3. Si a ≤ b y c > 0, entonces ac ≤ bc . 4. Si a ≤ b y c < 0, entonces ac ≥ bc . –a a –8 –6 –4 –2 0 2 Verifica que la respuesta del ejemplo 2 es correcta. Para ello, toma algunos valores y prueba que cumplen la desigualdad. Ahora es tu turno