Exp_Mat09_Alu

29 Para racionalizar expresiones que son suma de dos o más radicales se requiere el concepto de conjugado. El conjugado de ( a + b ) es ( a – b ) y su producto es ( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2 . Cada factor es el conjugado del otro. Para comprender ¿El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades equivale a la diferencia al cuadrado? Respuesta Recuerda que en lenguaje matemático decir diferencia al cuadrado es diferente de decir diferencia de cuadrados. En símbolos, ( a – b ) 2 ≠ a 2 – b 2 . Entonces, las dos expresiones son diferentes, porque el producto de la suma por la diferencia es ( a + b ) ( a – b ) = a 2 – b 2 , y la diferencia al cuadrado es el producto notable tal que ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 . Ejemplo 2 Racionalicemos las expresiones: a. 5 2 9 - b. y 2 3 2 + - Solución a. Para racionalizar binomios utilizamos el conjugado. 5 2 9 5 2 5 2 9 5 2 - = - + + ^ ^ ^h h h Multiplicamos por el conjugado. 5 2 9 5 2 2 2 = - + ^ ^ ^ h h h Hallamos la suma por la diferencia. 5 2 9 5 2 = - + ^ h 3 9 5 2 = + ^ h Aplicamos la propiedad de radicales. 3 5 2 = + ^ h Simplificamos. b. Para racionalizar un trinomio agrupamos. y y 2 3 2 2 3 2 + - = + - _ i Agrupamos términos en el denominador. y y y 2 3 2 3 2 2 3 = + - + + + + __ __ __ i i i i i i Multiplicamos por el conjugado. y y 2 3 2 2 3 2 2 = + - + + _ __ i i i Hallamos el producto en el denominador. y y y 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 = + + - + + _ __ i i i Desarrollamos el binomio cuadrado. y y y 2 2 2 9 2 2 2 6 = - + - + + y y y 2 2 7 2 2 2 6 = - + - + + Efectuamos las operaciones. Ejemplo 3 ¿Cuál es la expresión racionalizada para la tasa de rendimiento r I I I 0 2 0 = - de una inversión, cuyo capital inicial es I 0 y el monto con intereses en dos años es I 2 ? Solución • Si racionalizamos el numerador, obtenemos: r I I I I I I I I 0 2 0 0 2 0 2 0 = - = + - ^ h • Si racionalizamos el denominador, obtenemos: r I I I I I I I 0 2 0 0 0 2 0 = - = - ^ h De acuerdo con la definición de conjugado, ¿el conjugado de a b + es a b - ? ¿El conjugado de x 3 es x 3 - ? Justifica tus respuestas. Ahora es tu turno Herramientas para aprender Buscar expresiones equivalentes Para simplificar expresiones matemáticas es útil trabajar con expresiones equivalentes, como se muestra en el ejemplo 2.