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36 Tema 8 Componente numérico-variacional Números complejos Sistema de los números complejos Los números complejos surgen por la necesidad de resolver ecuaciones como x 2 + 1 = 0. Al despejar la variable x, obtenemos que x 2 = –1, cuya solución sería un número real cuyo cuadrado sea menos uno; pero este número no existe, porque el cuadrado de todo número real es un número positivo. Para el caso particular, la solución de la ecuación es x 1 ! = - . Entonces, ¿qué número es 1 - ? Los matemáticos acordaron que 1 - es la unidad imaginaria que se representa con i . René Descartes, en el siglo XVII, estableció el término imaginario para referirse a cantidades que provenían de raíces cuadradas con radicando negativo. Las raíces cuadradas de números negativos pueden expresarse como producto de la unidad imaginaria y un número real. Estos números se denominan imaginarios puros . ¿Existe un número real que multiplicado por sí mismo dé como resultado un número negativo? La unidad imaginaria representada con i satisface la igualdad i 1 = - , donde –1 = i  2 . Si x ∈ R y x > 0, entonces x - es un número imaginario puro tal que x x i - = . El conjunto de los números de la forma a + bi , donde a y b son números reales e i 1 = - recibe el nombre de conjunto de los números complejos , y se representa con la letra C . En el número complejo a + bi , a es la parte real, b la parte imaginaria y bi es el número imaginario puro. Ejemplo 1 Expresemos cada número imaginario en términos de i . a. 3 - b. 25 - c. 28 - - Solución a. i 3 1 3 3 1 3 $ $ - = - = - = b. i 25 1 25 25 1 5 $ $ - = - = - = c. i i 28 1 28 28 1 4 7 2 7 $ $ $ - - = - - = - - = - = - Ejemplo 2 Complejo Parte real Parte imaginaria Imaginario puro –4 – 5 i –4 –5 –5 i 8 = 8 + 0 i 8 0 0 i 3 i = 0 + 3 i 0 3 3 i Tabla 1 Vocabulario académico Busca otros significados del término imaginario y compáralos con el significado matemático. ¿Puedes establecer semejanzas entre los diferentes significados? Para comprender a. ¿Todo número real es un número complejo? b. ¿Todo número complejo es un número real? Respuesta a. Todo número real es un número complejo, porque para a ∈ R , a = a + 0 i , donde 0 i = 0. b. El único número complejo que es real es 0, porque 0 = 0 + 0 i ; ningún otro número complejo es real, porque bi = 0 + bi , con b ≠ 0, y a + bi = a + bi , con a ≠ 0 y b ≠ 0. Saberes previos