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46 Tema 10 Componente numérico-variacional Sistemas de ecuaciones lineales La recta y su pendiente La ley de Ohm establece que la corriente que circula en un circuito eléctrico es directamente proporcional al voltaje aplicado al circuito. Para interpretar mejor esta situación, observemos los datos que se presentan en la tabla 1. Voltaje (voltios) 10 15 20 25 30 35 Intensidad (amperios) 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Tabla 1 Si consideramos cada pareja de resultados (voltaje, intensidad) y ubicamos en el plano cartesiano, obtenemos la recta de la figura 1. Observemos que a medida que el voltaje aumenta (variación horizontal), la intensidad (variación vertical) lo hace de forma proporcional y constante; por tanto, se presenta una recta que crece de izquierda a derecha. Por otro lado, consideremos los puntos (10, 1) y (25, 2,5). La variación en el eje Y se determina por la diferencia entre las ordenadas 2,5 – 1 = 1,5; la variación en el eje X se determina por la diferencia entre las abscisas 25 – 10 = 15. La razón de cambio , 15 1 5 = 0,1 se conoce como la pendiente de la recta que pasa por los puntos (10, 1) y (25, 2,5). Esto significa que hay un incremento de 0,1 amperios por cada voltio que se genera. Ubica en el plano cada pareja de puntos y traza la recta que determinan. a. (–3, 2) y (1, 4) b. (–1, –3) y (2, 3) c. (0, 0) y (3, –2) d. (–1, 0) y (0, –1) La pendiente de una recta que pasa por los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) se denota con la letra m y se determina por la expresión m = x x y y 2 1 2 1 - - ; donde x 2 ≠ x 1 . Clases de pendientes Si las diferencias vertical y horizontal son ambas negativas o positivas, se presenta una pendiente positiva. Si las diferencias vertical y horizontal son de signos opuestos, entonces la pendiente es negativa. Si la recta es horizontal, la pendiente es 0, y si es vertical, no está definida. Ejemplo 1 Dados los puntos (3, –2) y (–1, –4), podemos hallar la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos así: m = ( ) 1 3 4 2 2 1 - - - - - = . En la gráfica de la recta de la figura 2, notamos que se establece un incremento de 2 unidades verticales por cada 4 unidades horizontales, y esto equivale a m = 2 1 . Figura 1 Figura 2 Para comprender ¿Qué par de puntos deben considerarse para calcular la pendiente de una recta? Respuesta Para calcular la pendiente de una recta, no importa qué puntos de la recta se tomen ni el orden. Es decir, dados los puntos ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) y ( x 3 , y 3 ) de una recta, se tiene que m = x x y y 2 1 2 1 - - = x x y y 1 2 1 2 - - = x x y y 1 3 1 3 - - , para x 2 ≠ x 1 ≠ x 3 . Saberes previos 1 2 2 u 4 u 3 4 5 1 2 X Y −1 −1 −2 −3 −4 −5 −2 (3, −2) (−1, )−4 −3 −5 −6 −4 5 0,5 1 2 3 1,5 2,5 3,5 10 (10, 1) (15, 1,5) (20, 2) (25, 2,5) (30, 3) (35, 3,5) 15 20 25 30 35 40 45 Voltaje V I Intensidad