Exp_Mat09_Alu

54 Tema 12 Componente numérico-variacional Sistemas de ecuaciones lineales Rectas paralelas y perpendiculares Al analizar un mapa de vías de una ciudad, como los que se observan en GPS o mapas viales, se identifican tramos de vías que se cruzan en diferentes ángulos, y otros que se encuentran a una distancia constante y, por tanto, no se cruzan. Esta diversidad de vías genera una red en la cual muchas veces dos automóviles pueden ir uno al lado del otro sin necesidad de cruzarse; en algunos cruces, se deben ubicar semáforos en la intersección entre estas vías. Si llevamos esta idea al plano cartesiano, identificamos que dos rectas pueden tener tres comportamientos diferentes: se cruzan formando un ángulo no recto, se cruzan formando un ángulo recto o nunca se cruzan. ¿Qué significa que dos rectas, en el mismo plano sean paralelas? ¿Qué significa que sean perpendiculares? Traza un ejemplo en cada caso. Sean las rectas l 1 y l 2 con pendientes m 1 y m 2 , respectivamente. • l 1 y l 2 son paralelas , si y solo si, m 1 = m 2 . Se simboliza l 1 || l 2 . • l 1 y l 2 son perpendiculares , si y solo si, m 1 = m 1 2 - . Se simboliza l 1 ⊥ l 2 . Vocabulario académico ¿En la oración “La avenida circunvalación es paralela a la longitudinal”, la palabra paralela tiene un significado similar al matemático? Ejemplo 1 Determinemos si las rectas de la figura 1 son paralelas . Solución Consideremos dos puntos de cada recta y hallemos la correspondiente pendiente. Puntos Pendiente l 1 (0, 3) y (2, 4) m 1 = 2 0 4 3 2 1 - - = l 2 (0, 5) y (2, 6) m 2 = 2 0 6 5 2 1 - - = Tabla 1 Como m 1 = m 2 , podemos concluir que l 1 || l 2 . Ejemplo 2 Determinemos si las rectas definidas por las siguientes ecuaciones son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos: –3 x – 12 y + 8 = 0 y 2 x – 8 y = –16. Solución En la tabla 2, escribimos las ecuaciones en la forma pendiente- intersecto con el eje Y , donde el coeficiente de x representa la pendiente de la recta. Figura 1 Para comprender ¿Puede afirmarse que las pendientes de dos rectas perpendiculares son opuestas? Respuesta No . La pendiente de una es opuesta del recíproco de la otra. Saberes previos 1 4 3 2 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2 –1 –2 –3 l l X Y (0, 5) (0, 3) (2, 4) (2, 6)