Exp_Mat09_Alu

74 Tema 17 Componente numérico-variacional Sistemas de ecuaciones lineales Método de eliminación Andrés es orfebre y tiene dos lingotes de oro para elaborar joyas. Necesita conocer la masa de cada lingote. Sabe que la suma del doble de la masa del lingote de mayor masa con la masa del lingote de menor masa es 650 g y que la diferencia entre el lingote de mayor masa menos el doble de masa del lingote de menor masa es 200 g. Identificamos dos variables: x : masa del lingote de mayor masa; y : masa del lingote de menor masa. Podemos modelar la situación con el sistema de ecuaciones lineales 2 × 2: ( ) ( ) x y x y 2 650 1 2 200 2 + = - = ( Observemos que si multiplicamos por 2 la ecuación (1), obtenemos un sistema en el que el coeficiente de la variable y es el opuesto del coeficiente de la variable y de la ecuación (2) del sistema inicial. A este sistema se le conoce como equivalente al sistema inicial. 2 200 (2) 2 650 (1) x y x y - = + = ( × 2 ↔ 2 200 (2) 4 2 1300 (1) x y x y - = + = ( Escribe el factor que completa cada igualdad. a. (–3 x )( ) = 9 x b. y 3 2 - a k ( ) = 10 y c. ( )(–7 m ) = –49 m d. ( )(4 z ) = –4 z Dos sistemas son equivalentes si tienen la misma solución. Para obtener un sistema equivalente a otro, podemos efectuar: 1. Cambio en el orden de las ecuaciones del sistema. 2. Reemplazo en una de las ecuaciones por un múltiplo de esta, distinto de 0. 3. Reemplazo en una ecuación por la suma de un múltiplo de esta con el múltiplo de la otra ecuación del sistema. Vocabulario académico El opuesto de un número real, a , es tal que, al adicionarlo con a , resulta el módulo aditivo; es decir, 0. ¿Conoces otro significado diferente al matemático de esta palabra? Escribe una oración en la que uses esta palabra. El sistema de la situación inicial se resuelve así ( ver tabla 1): En el sistema equivalente al inicial, hallamos la suma de las dos ecuaciones ( ) ( ) x y x y x 4 2 1300 1 2 200 2 5 1500 + = - = = ( Solucionamos la ecuación lineal 5 x = 1 500, entonces x = 300 Reemplazamos x = 300 en (2) 300 – 2 y = 200, así y = 50 Verificamos resultados (1): 2(300) + 50 = 650 (2): 300 – 2(50) = 200 Tabla 1 Este tipo de solución, para encontrar las dos variables de las dos ecuaciones, se conoce como el método de eliminación . Saberes previos