Exp_Mat09_Alu

82 Tema 19 Componente numérico-variacional Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas Se realiza un estudio sobre los efectos del hierro, vitamina C y zinc que se encuentran en tres alimentos procesados. El contenido por onza en cada alimento se muestra en la tabla 1. Alimento I (en mg) Alimento II (en mg) Alimento III (en mg) Hierro 3 1 3 Vitamina C 4 2 4 Zinc 3 2 4 Tabla 1 ¿Cuántas onzas de cada alimento procesado debe considerarse para obtener 10 mg de hierro, 14 mg de vitamina C y 13 mg de zinc? Identificamos las variables x : onzas del alimento tipo I; y : onzas del alimento tipo II; z : onzas del alimento tipo III. La obtención de 10 mg de hierro, a partir de los tres alimentos procesados, podemos modelarla con la ecuación 3 x + y + 3 z = 10. Para representarlo gráficamente, recordemos que en el plano un punto se determina con una pareja ordenada ( x , y ); y en el espacio, con tres coordenadas ( x , y , z ). La figura 1 muestra el plano 3 x + y + 3 z = 10 y el punto (1, 4, 1) que pertenece a este. Entonces podemos modelar la situación con el siguiente sistema, formado por tres ecuaciones, cada una con las mismas tres incógnitas: x y z x y z x y z 3 3 10 4 2 4 14 3 2 4 13 + + = + + = + + = Z [ \ ]]]] ]]] Soluciona gráficamente el sistema x y x y 2 2 3 1 - = - = ( . ¿Cómo se representa geométricamente la solución del sistema? Figura 1 Figura 2 Un sistema de ecuaciones lineales 3 × 3 tiene tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Su solución corresponde a la terna o conjunto de ternas que son intersección de los conjuntos solución de las tres ecuaciones que forman el sistema. Para comprender ¿Qué sucede si en un sistema de ecuaciones lineales 3 × 3 los tres planos se intersecan en más de un punto? Respuesta El sistema tendría infinitas soluciones. Ejemplo 1 La figura 2 muestra la representación gráfica del sistema que modela la situación inicial y el punto solución. Notemos que no es sencillo obtener la solución gráficamente. Utilizaremos la regla de Cramer para solucionar el sistema. Primero debemos conocer cómo hallar determinantes para matrices 3 × 3. Saberes previos