Exp_Mat11_Alu

24 Tema 5 Componente numérico-variacional Números reales Inecuaciones racionales Se quiere cercar un terreno utilizando 120 metros de alambre reforzado. El terreno es rectangular y debe tener un área de por lo menos 800 metros cuadrados. ¿Qué valores son posibles para el largo de ese terreno rectangular? En la figura 1, se puede ver que el área del terreno está dada por la expresión xy y su perímetro por la expresión 2 x + 2 y . De acuerdo con las condiciones del problema, el perímetro es igual a 120, porque se cuenta con 120 metros de alambre, es decir: 2 x + 2 y = 120. También, se tiene que el área debe ser de por lo menos 800 metros cuadrados, es decir, xy ≥ 800. Si de la ecuación del perímetro se despeja la variable y , se tiene que y x 2 120 2 = - = 60 − x . Al reemplazar esta expresión en la desigualdad correspondiente al área, se tiene que x (60 − x ) ≥ 800, expresión que puede reescribirse como x 2 − 60 x + 800 ≤ 0. Factorizando el polinomio de segundo grado, se obtiene: ( x − 40)( x − 20) ≤ 0 Realizando el análisis de signos, como lo muestra la figura 2, el intervalo de valores que puede tomar x es [ 20, 40 ], el intervalo en que el producto de los dos factores es menor o igual que cero. El largo del terreno rectangular puede estar entre los 20 metros y los 40 metros. Factoriza los siguientes polinomios. a. x 2 + 8 x + 16 b. x 2 − 9 c. x 2 + x − 12 d. x 4 − 10 x 2 + 9 Ejemplo 1 Resolvamos la inecuación x 2 − x − 2 ≥ 0 . Solución 1. Igualamos a cero el polinomio de la desigualdad: x 2 − x − 2 = 0. 2. Factorizamos el polinomio ( x + 1)( x − 2) = 0. Para resolver inecuaciones con polinomios de grado mayor o igual que dos, se utiliza la factorización. Este método se basa en el principio de que un polinomio solo puede cambiar de signo en los puntos donde su valor es cero, es decir, en sus raíces. Para hallar las raíces de un polinomio, este debe igualarse a cero, y luego despejar los valores de x que satisfacen la igualdad. Figura 1 Figura 2 Saberes previos y x + + + + 0 10 20 30 40 50 60 ( x – 20) – – – + + 0 10 20 30 40 50 60 ( x – 40) – – – – – – – 0 10 20 30 40 50 60 ( x – 20)( x – 40) + + + + + +