Exp_Mat11_Alu

25 Resuelve las siguientes inecuaciones. a. 3 x 2 − 27 ≤ 0 b. −2 x 2 + 8 > 0 Ahora es tu turno Ejemplo 2 Resolvamos la desigualdad x x 1 1 1 2 + - . Solución Primero pasamos todos los términos distintos de cero al lado izquierdo, y posteriormente simplificamos utilizando un denominador común. x x 1 1 1 2 + - Inecuación dada. x x 1 1 1 0 2 + - - Adicionamos −1 en ambos términos. x x x x 1 1 1 1 0 2 + - - + + Efectuamos la operación del lado izquierdo. x x 1 2 0 2 + - Simplificamos. El numerador es cero cuando x = 0 , y el denominador lo es cuando x = −1. En la figura 4, observamos el diagrama de signos. Por tanto, el conjunto solución es { x ∈ R : −1 < x < 0 }, es decir, el intervalo (−1, 0). Signo de un producto Si un producto tiene una cantidad par de factores negativos, entonces su valor es positivo. Si un producto incluye un número impar de factores negativos, entonces su valor es negativo. Signo de un cociente El signo del cociente de dos números no nulos es el mismo signo que el de su producto. Figura 3 Figura 4 3. Construimos un diagrama de signos para los factores del polinomio; para ello, utilizamos un + para indicar los valores de x donde el factor es positivo, un − para indicar los valores de x donde el factor es negativo, y un círculo para indicar que el factor es igual a cero. El diagrama de signos de la figura 3 resume el siguiente análisis: • x + 1 = 0, si x = −1; x + 1 > 0, si x > −1, y x + 1 < 0, si x < −1. • x − 2 = 0, si x = 2; x − 2 > 0, si x > 2, y x − 2 < 0, si x < 2. 4. Determinamos los intervalos que satisfacen la desigualdad dada; en este caso se necesita que x 2 − x − 2 sea mayor o igual que cero; por tanto, consideramos los valores de x que resultaron con el signo + o 0, y esto ocurre en (− 3 , −1] ∪ [2, 3 ), que es el conjunto solución. Para comprender ¿Por qué para a , b ≠ 0 el signo de ab y el signo de b a son iguales? Respuesta Puesto que b 2 > 0, el signo de b a y el de b a b ab 2 = son iguales. Una consecuencia de esta observación es que el signo de b y el de b 1 son iguales. + + + + –1 2 ( x + 1) + – – – – – – – + –1 2 ( x – 2) + – – – + + + –1 2 ( x + 1) ( x – 2) + + + + –1 0 –2 x –2 x ( x + 1) + – – – – – – – – + + + + + + + –1 0 ( x + 1) –1 0