Exp_Mat11_Alu

55 Traza la gráfica de la función f ( x ) del ejemplo 3. Ahora es tu turno Para comprender Dado A un subconjunto de R , ¿cuál es el dominio de la función característica | A ? Respuesta Independientemente de cuál sea el subconjunto A de R que se tome, el dominio de | A es R . Dato histórico En 1748, Euler popularizó el concepto de función al publicar Introductio in analysin infinitorum , y lo definió así: “Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”. Sin embargo, esta definición presentó inconvenientes, y siete años después el mismo Euler la reformuló. El concepto de función ha evolucionado, y matemáticos como, Antoine Condorcent (1743-1794), Nicolai Lobachevsky (1792- 1856) y Henry Poincare (1854- 1912) dieron su propia versión del concepto dado por Euler, hasta llegar a la definición de Edouard Goursat (1858- 1936), en 1923, y empleada en la mayoría de textos de la actualidad: “Se dice que y es una función de x, si a cada valor de x le corresponde un único valor de y ”. Figura 2 Figura 3 Ejemplo 3 La función ( ) , ; , , f x x x x x 0 0 si si < 2 $ = * puede expresarse usando funciones características así: f ( x ) = x  2 · | (− 3 , 0) ( x ) + x · | [0, 3 ) ( x ). Ejemplo 2 En la figura 3 se representan las funciones | [0, 1] y 2 · | [−1, 0] ∪ [1, 2] . Para cada subconjunto A de R , la función característica de A , notada como | A , se define como: ( ) ; , . x x A x A 0 1 si si z ! | = A ) Un ejemplo importante de funciones definidas a trozos son las llamadas funciones características: a. El dominio de la función. b. f (−3), f (−2), f (−1), f (0), f (3). c. La gráfica de la función y determinemos su rango. Solución a. La función está definida para todo posible valor de x ; por tanto, su dominio es el conjunto de los números reales, R . b. Los valores de la función se resumen en la tabla 1. Condición x < −2 −2 ≤ x < 3 x ≥ 3 x −3 −2 −1 0 3 f ( x ) 3 2 − (−2) = 4 2 − (−1) = 3 2 − (0) = 2 3 2 = 9 c. Para trazar la gráfica de la función, dividimos el eje X según las condiciones que indica la función, y trazamos la sección de la función que corresponde a cada parte, como se muestra en la figura 2. El rango de la función es (−1, 4] ∪ [9, 3 ). Tabla 1 –2 –4 4 2 4 8 12 16 Y X –2 –1 –1 –2 1 1 2 2 Y X –2 –1 –1 –2 1 1 2 2 Y X