Exp_Mat11_Alu

58 Tema 13 Componente numérico-variacional Funciones Función valor absoluto En una ciudad en la que todas las calles son paralelas y todas las carreras son perpendiculares a las calles, un servicio de taxis ofrece una aplicación en la que el usuario puede observar sus coordenadas P ( x , y ) respecto al lugar O (0, 0), donde empieza el cobro del servicio. La empresa de taxis cobra $ 1 000 por cada kilómetro que separa a O de P , medida sobre las calles y las carreras de la ciudad . Hay que proponer un modelo que permita establecer el cobro de un servicio en función de las coordenadas de P . En la figura 1 se observa que entre O y P hay | x  | + | y  | kilómetros, por lo que el servicio cuesta $ 1 000 (| x  | + | y  |). Recuérdese que | x  | denota la distancia desde el punto x hasta el origen 0. Además, si x ≥ 0, entonces | x  | = x ; y si x < 0, entonces | x  | = − x . Debe tenerse presente que − x denota al opuesto aditivo de x y que no necesariamente es un número negativo. Ubica cada pareja de números en la recta numérica y determina la distancia entre estos. a. {2, 7} b. {−5, 3} c. {0, −6} d. {−10, −3} Figura 1 Figura 2 La función f ( x ) = | x | es la función valor absoluto y está definida como , ; , . x x x x x 0 0 si si < $ = - ) . Algunas características de esta función son las siguientes: • Su rango son los reales no negativos [0, 3 ). • La gráfica de la función se compone de dos semirrectas de ecuación y = − x para x < 0; y de la ecuación y = x para x ≥ 0. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función. • La gráfica de la función es simétrica respecto al eje Y , ya que si, por ejemplo, el punto (−5, 5) pertenece a la gráfica de la función, el punto (5, 5) también pertenece. De forma general, si el punto de coordenadas (− a , a ) está en la gráfica de la función, entonces el punto ( a , a ) también estará en la gráfica. En los siguientes ejemplos estudiaremos las características de algunas funciones que involucran valores absolutos. Ejemplo 1 Tracemos la gráfica y hallemos el dominio y el rango de las siguientes funciones. a. ( ) f x x 2 1 = + b. h ( x ) = | 2 x  | + 1 Saberes previos x y P ( x , y ) Q (0,0) X Y –1 –1 –2 1 1 2 2 3 f ( x ) = x