Exp_Mat11_Alu

74 Tema 17 Componente numérico-variacional Funciones Funciones trigonométricas Considérese un punto P sobre una rueda de radio 1 u. Supóngase que la rueda se mueve a lo largo del eje X , con una velocidad angular constante de 1 r. p. m. Se debe hallar la altura y ( t ) a la que se encuentra el punto P , después de t minutos de haber comenzado su movimiento; en el instante, t = 0, y P se encuentra en O (0, 0). Después de t min, el punto P es el lado terminal del arco JP , de medida t rad, como el que se ilustra en la figura 2. La altura y ( t ) = IP del punto se encuentra con la expresión y ( t ) = 1 − cos ( t ). Determina el valor indicado en cada triángulo de la figura 1. Figura 1 Para comprender ¿Qué significa que una función f  sea periódica ? Respuesta Una función es periódica si su dominio puede descomponerse en subintervalos de igual longitud, disjuntos 2 a 2, de forma que la gráfica en un subintervalo es una traslación de la gráfica en otro subintervalo. Analíticamente, se dice que f  es periódica si existe p > 0, el menor real con la propiedad de que f ( x + p ) = f ( x ), independientemente del valor de x que se tome en el dominio de f  . Figura 3 Figura 2 La trayectoria que sigue el punto P en la situación del comienzo del tema se llama cicloide. De forma análoga como se encontró la altura del punto P en un momento cualquiera, se puede deducir que la abscisa de P está dada por la expresión x ( t ) = t − sen( t ). Las funciones trigonométricas se usan, entre otras cosas, para describir trayectorias como la de una partícula sobre la cicloide, o sobre una curva cónica. En la figura 3 se muestra el ángulo QOP en posición normal. En el mismo plano, se observa la circunferencia unitaria y el punto P ’ de coordenadas ( x , y ), en el lado terminal del ∠ QOP . Obsérvese que el triángulo rectángulo OP ’ Q ’ es semejante al triángulo OPQ , y sus catetos miden x y y . De la definición de las razones trigonométricas para el ángulo agudo i = ∠ QOP, se tiene que  ( ) sen y y 1 i = = y ( ) cos x x 1 i = = . En general: Si i es el ángulo de t rad en posición normal, sen( t ) = y y cos( t ) = x , donde P ( x , y ) es la intersección del lado terminal de i , con la circunferencia unitaria. Saberes previos i 4 3 5 b 1 1 2 X Y O 1 1 2 –1 –2 2 3 r 2 2 r P J I r r X x Y Q’ P’ Q O P y i